Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).

Виды четырёхугольников

1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
   • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
   • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
   • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
2. Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
3. Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Четырёхсторонник

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Свойства

• Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
• Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° (). См. также теорема Птолемея.
• Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ()
• Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
• Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
• Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
• См. также свойства центроида четырёхугольника.
• Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

.

Его можно представить ещё в виде:

Площадь

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями , и углом между ними (или их продолжениями), равна:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

• , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.
• , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

Особые случаи

Если 4-угольник и вписан, и описан, то .

История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d^[1]: .

См. также

• Теорема косинусов для четырёхугольника
• Прямая Обера
• Соотношение Бретшнайдера

Примечания

Литература

• Четырехугольники. Квант, № 9,1974.
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74. — ISBN 5-94057-170-0