Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.
Свойства
Построение правильного пятиугольника
- Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
- ,
где — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности, — диагональ, — сторона.
- Высота правильного пятиугольника:
- Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
- Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу .
Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
- Радиус вписанной окружности:
- Радиус описанной окружности:
- Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
- Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного
- ,
- где — отношение золотого сечения.
Построение
Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.
Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:
- Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
- Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
- Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B.
- Постройте точку C посередине между O и B.
- Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
- Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
- Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
- Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
- Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля
Получение с помощью полоски бумаги
Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.
Overhand knot of a paper strip
В природе
Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.[1]
Интересные факты
- Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
- Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
- Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
- В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
См. также
Примечания
- A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009 (англ.)