Треугольная потенциальная яма — это один из наиболее простых потенциалов в квантовой механике допускающих точное решение задачи о движении заряда в электрическом поле. Основная её особенность состоит в том, что она возникает вследствие тривиального обрезания бесконечного 3D-пространства 2D-плоскостью.

Рассмотрим потенциальную энергию , представляемую в виде:

где - координата 3D-пространства, вдоль которой проводится его обрезание плоскостью при , - заряд электрона, - напряжённость электрического поля, определяющая потенциальную энергию.

Уравнения Шрёдингера в данном одномерном случае можно записать в виде:

Для упрощения дальнейшего рассмотрения введём безразмерную переменную в виде:

В результате, получим уравнение Шрёдингера, которое зависит от параметра энергии:

Решение данного уравнение есть

где функции Эйри определённые следующим образом:

При движении в неограниченном пространстве уже есть определённая постоянная интегрирования :

.

Основное отличие данной задачи состоит в том, что при потенциальная энергия стремительно растёт, и мы должны для сшивания волновых функций использовать условие:

где — корни функции Эйри. Можно привести первые 5 значений этих корней: , , , , .

В результате, мы получили дискретный спектр энергий для треугольной потенциальной ямы в виде:

Поскольку между потенциальной энергией и дискретным спектром справедливо следующее соотношение в узловых точках:

поэтому можно обнаружить значение координаты :

Широкое распространение данная задача приобрела при исследованиях 2D-систем электронного газа инверсных слоёв поверхности раздела диэлектрик — полупроводник.

Литература

• Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ.- М.:Мир, 1985.- 416с.
• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Изд. 2-е.- М.:ГосИздат,1963.- 703с.

Ссылка

[1]

См. также

• Квантовое движение в электрическом поле
• Квантовое движение в прямоугольной потенциальной яме
• Осцилляции Зенера — Блоха
• Квантовый осциллятор