Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

где  — постоянная Планка,  — масса частицы,  — потенциальная энергия,  — полная энергия,  — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала

где  — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения , с граничными условиями и .

Общие свойства

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности.

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция x. В одномерном случае, если волновая функция при , то показатель степени в соответствии с выражением

должен удовлетворять неравенству

Интегрирование уравнения в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

из которого в пределе следует

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией (), то условие принимает вид

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения

В общем виде решения уравнения , с граничными условиями и не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения .

Решение для свободной частицы — плоские волны

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение принимает особенно простой вид

Для этого уравнения решением является суперпозиция плоских волн

Здесь энергия может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Константы и определяются из условия нормировки.

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения с потенциальной энергией , которая равна нулю в интервале и становится бесконечной в точках и . На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с . Граничные условия , для волновой функции запишутся в виде

Ищем решения в виде . С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии

и собственных функций с учётом нормировки

Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках , а именно, заменяя вторую производную по формуле

где  — шаг дискретизации,  — номер узла сетки, получим

где  — значение потенциальной энергии на узлах сетки. Пусть некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение можно записать в безразмерном виде

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии и собственные значения , то уравнение упростится

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов .

Программный код^{[источник не указан 647 дней]}

Используя уравнение в конечных разностях запишем дискретный аналог для уравнения с нулевым потенциалом

Следующий программный код (Matlab) предназначен для решения уравнения с нулевой потенциальной энергией и граничными условиями , .

 clear;

%Размер матрицы
N=400;
%Число собственных значений
Roots=3;
%правая граница
a=10;
%Шаг дискретизации
step=a/(N+1);
%Сетка
s=step:step:a-step;
%% Потенциальная энергия
%% Вариант 1 - "большая яма"
  v=0*s;
%%Вариант 2 - 1/r потенциал
%v=1./linspace(-a,a,numel(s));
%v=-abs(v)*10; 
%%Вариант 3 - "вложенная потенциальная яма"
%v=abs(linspace(-a,a,numel(s)))<a/2;
%v=-abs(v)*10^3;
%% solution
figure('Name','Потенциал'); plot(v);ylim([-500 0]);
%Трёхдиагональная матрица
A=zeros(N);
for i=1:N
    A(i,i)=2+v(i)*step*step;
end
for i=1:N-1
    A(i,i+1)=-1;
    A(i+1,i)=-1;
end

%Вычисление собственных значений и собственных векторов
opts.isreal=0;
[psi,e]=eigs(A,Roots,'sr'); %верно считает состояния с отрицательной энергией
%[psi,e]=eigs(A,Roots,'sm');  %верно считает 'e'
for i=1:Roots
    e(i,i)=e(i,i)/(step*step);
end
%Вывод
e
%plot(s,psi(:,1),'k',s,psi(:,2),'b',s,psi(:,3),'g',s,psi(:,4),'r')
figure('Name','Fi');plot(s,psi);
legend_=(num2cell(1:size(psi,2)));
for i=1:numel(legend_)
    legend_{i} = num2str(legend_{i});
end
legend(legend_{:});

Собственные значения

 e =
 
     1.5790         0         0         0
          0    0.8882         0         0
          0         0    0.3948         0
          0         0         0    0.0987

На рисунке представлены четыре волновые функции, соответствующие собственным значениям .

Литература

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин. Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

Ссылки

• Particle in a box