Дифференциа́льная фо́рма порядка или -форма — кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство -форм на многообразии обычно обозначают .

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени  — это гладкое сечение -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Через локальные карты

-формой на будем называть выражение следующего вида

где  — гладкие функции,  — дифференциал -ой координаты (функция от вектора, возвращающая его координату с номером  ), а  — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

• Для -формы , её внешний дифференциал это -форма

• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
• Факторгруппа замкнутых k-форм по точным k-формам называется -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы по векторному полю называется форма

Свойства

• В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как

где  — дифференциал -ой координаты , а  — внешнее произведение.

• Для дифференциалов дифференциальных форм векторного поля справедливо:

• Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от векторов.
• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

• Для любой формы справедливо .
• теорема Стокса — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
• Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке многообразия и отображающий элементы касательного пространства в множество вещественных чисел :

• Форма объёма — пример -формы на -мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма на -многообразии, такая что .

Применения

Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть  — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и  — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на . Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на . Тогда ротор и дивергенцию для полей на можно представить как

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

где  — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие с заданными на нём симплектической формой и функцией , называемой функцией Гамильтона. задаёт в каждой точке изоморфизм кокасательного и касательного пространств по правилу

,

где  — дифференциал функции . Векторное поле на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций и на определяется по правилу

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на со значениями в векторном расслоении определяются как сечения тензорного произведения расслоений

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение .

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса
• Дифференциальные формы в электродинамике