Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение.

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на .

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество такое, что .

Определение 2. Функция , определённая следующим образом:

называется функцией вероятности .

Функция вероятности случайной величины

Определение 3. Пусть — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности случайной величины имеет вид:

.

или короче

,

где .

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно следует:

• .
• .
• Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

.

• Если , то

,

,

где — функция вероятности вектора , а — функция вероятности величины . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности .

• Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

• Распределение Бернулли;
• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Гипергеометрическое распределение;
• Логарифмическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Распределение Пуассона;
• Дискретное равномерное распределение;
• Мультиномиальное распределение.

См. также

• Плотность вероятности.