Фо́рмула Ло́ренца — Ло́ренца связывает показатель преломления вещества с электронной поляризуемостью частиц (атомов, ионов, молекул), из которых оно состоит. Формулу получили датский физик Людвиг В. Лоренц (дат. Ludvig Valentin Lorenz ) и голландский физик Хендрик А. Лоренц (нидерл. Hendrik Antoon Lorentz) в 1880 году независимо друг от друга^[1].

Если вещество состоит из частиц одного сорта, то формула имеет вид:

где  — показатель преломления,  — количество частиц в единице объёма, а  — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент , связывающий напряжённость электрического поля , действующего на частицу, с дипольным моментом , образующимся у частицы под действием этого поля:

Здесь и далее жирным шрифтом выделяются векторные величины.

Формулу записывают также в виде:

где  — молекулярная масса вещества,  — его плотность, а  — постоянная Авогадро. При этом величину называют молекулярной рефракцией.

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями и объёмными концентрациями , то формула принимает вид:

Вывод формулы основан на рассмотрении микроскопического поля и его взаимодействия с атомами, молекулами и ионами вещества. При выводе предполагается, что среда является изотропной, а составляющие её частицы собственным дипольным моментом не обладают^[2].

Обсуждение

Воздействие внешнего электромагнитного поля с относительно высокими частотами, соответствующими видимому и УФ-диапазону спектра, приводит к смещению только электронных оболочек относительно атомных ядер, в то время как более массивные частицы (атомы и ионы) за период колебаний поля сместиться с занимаемых ими мест не успевают. Соответственно, в поляризацию среды вносит вклад только электронная поляризация, и показатель преломления оказывается связан с электронной поляризуемостью частиц формулой Лоренца — Лоренца.

При более низких частотах колебаний поля атомы и ионы успевают смещаться под действием поля, и поэтому вносят свой вклад в общую поляризацию. В результате становится необходимым, помимо электронной поляризуемости, учитывать атомную и ионную поляризуемости. Аналогом формулы Лоренца — Лоренца для постоянных полей является^[3] формула Клаузиуса — Моссотти, описывающая связь диэлектрической проницаемости вещества с поляризуемостями составляющих его частиц:

В полярных диэлектриках частицы среды обладают собственным дипольным моментом, то есть таким, который они имеют и в отсутствие внешнего электрического поля. Непосредственное применение формулы Лоренца — Лоренца в её обычном виде в таких случаях невозможно. Дальнейшим развитием формулы Лоренца — Лоренца, пригодным в том числе и для случая полярных диэлектриков (но для относительно низких частот колебаний поля), стала формула формула Ланжевена — Дебая^[4].

Формула Лоренца — Лоренца лежит в основе структурной рефрактометрии. Она широко используется при изучении и контроле составов различных веществ, для исследования их строения и превращений, происходящих в результате протекания химических реакций^[5][6].

Классическая теория дисперсии

Формула Лоренца — Лоренца является одним из оснований теории дисперсии света в классическом приближении^[2][7]. В этой теории оптические электроны рассматриваются как дипольные осцилляторы, характеризуемые собственной частотой . В случае, когда затуханием колебаний электронов можно пренебречь^[8], уравнение колебаний имеет вид:

где — смещение электрона из положения равновесия, и — заряд и масса электрона соответственно, а — напряжённость электрического поля.

В результате решения уравнения для монохроматического поля, изменяющегося с частотой , сначала получается зависимость , а затем и поляризуемость :

После подстановки полученного выражения в формулу Лоренца — Лоренца возникает дисперсионная формула вида:

Обычно свой вклад в формирование показателя преломления вносят несколько линий поглощения с частотами . В таком случае дисперсионная формула принимает вид:

где — безразмерные коэффициенты (силы осцилляторов), показывающие эффективность участия соответствующих осцилляторов в явлениях дисперсии и удовлетворяющие правилу .

История

Статьи Людвига В. Лоренца^[9] и Хендрика А. Лоренца^[10] с сообщениями о получении формулы были опубликованы практически одновременно в 1880 году. М. Борн и Э. Вольф такое одновременное получение результата учёными с почти одинаковыми (в оригинальном написании) фамилиями называют «удивительным совпадением»^[2].

Сам Хендрик Лоренц в своей книге писал так: «…этот результат был найден Лоренцом в Копенгагене за несколько времени до того, как я вывел его из электромагнитной теории света, что, конечно, является любопытным случаем совпадения»^[11].

Хотя Хендрик А. Лоренц не был тем, кто первым вывел формулу, и на эту роль не претендовал, в её наименовании, обычно употребляемом в англоязычной литературе, его имя стоит в начале: «Lorentz — Lorenz equation», «Lorentz — Lorenz formula» или «Lorentz — Lorenz relation».

Ранее, до того, как в русской научно-технической литературе сложилась общепринятая традиция, использовались различные варианты наименования формулы, включая такие, как формула «Лоренц — Лоренца», «Лоренц — Лорентца», «Лорентц — Лоренца» и «Лорентца — Лоренца».

В своё время значение формулы Лоренца — Лоренца не исчерпывалось только тем, что она дала возможность количественного описания формирования значения показателя преломления веществ. Как писали М. Борн и Э. Вольф, «…она служит мостом, связывающим феноменологическую теорию Максвелла с теорией атомного строения вещества»^[2].

Несмотря на солидный «возраст», формулу Лоренца — Лоренца в настоящее время не только достаточно широко применяют, но и продолжают развивать, расширяя возможности её использования^[12].

Примечания