В теоретической физике, теория волны-пилота является первым известным примером теории со скрытыми переменными. Она была представленна Луи де Бройлем в 1927 году. Её более современная версия в интерпретации Бома остаётся спорной попыткой интерпретации квантовой механики как детерминированной теории, в которой такие понятия, как мгновенный коллапс волновой функции и парадокс кота Шредингера находят своё объяснение.

Теория волны-пилота

Теория волны-пилота является одной из нескольких интерпретаций квантовой механики. Она использует тот же математический формализм как другие интерпретации квантовой механики, и, следовательно, она подтверждается текущими экспериментальными доказательствами в той же степени, как и другие интерпретации.

Принципы

Теория волны-пилота является теорией со скрытыми параметрами. Следовательно теория основывается на следующих понятиях:

• реализма (что означает, что ее понятия существуют независимо от наблюдателя);
• детерминизма.

Положение и импульс каждой частицы считаются скрытыми переменными; они определены в любое время, но не известны наблюдателю; начальные условия для частицы также не известны точно, так что с точки зрения наблюдателя, есть неопределенность в состоянии частицы, которая соответствует принципу неопределенности Гейзенберга.

Набору частиц соответствует волна, которая эволюционирует подчиняясь уравнению Шрёдингера. Каждая из частиц следует по детерминированной траектории^[1], которая ориентируется на волновую функцию, полностью, плотность частиц соответствует величине волновой функции. Волновая функция не зависит от частиц и может существовать так же в виде пустой волновой функции.^[2]

Как и большинство интерпретаций квантовой механики, кроме многомировой интерпретации, эта теория нелокальна.

Cледствия

Теория волны-пилота показывает, что есть теория, которая реалистична и детерминирована, и при этом она предсказывает экспериментальные результаты квантовой механики.

Математические основы

Для вывода волны-пилота де Бройля-Бома для электронов, квантовый лагранжиан

где Q есть потенциал, связанный с квантовой силой (частица, на которую действует волновая функция), интегрируется вдоль одного пути (по которому электрон на самом деле следует). Это приводит к следующей формуле для пропагатора Бома:

.

Этот пропагатор позволяет отслеживать электрон с течением времени под влиянием квантового потенциала Q.

Вывод уравнения Шрёдингера

Теория волны-пилота основывается на динамике Гамильтона-Якоби^[3], а не на лагранжевой или гамильтоновой динамике. Используя уравнения Гамильтона-Якоби

можно получить уравнение Шредингера.

Рассмотрим классическую частицу — положение, которой неизвестно. Мы должны рассматривать её статистически, так что только плотность вероятности ρ(х, t) известна. Вероятность должна сохраняться, то есть для каждого t. Поэтому она должна удовлетворять уравнению непрерывности

где v(x, t) есть скорость частицы.

В формулировке Гамильтона-Якоби классической механики, скорость дается где S(x, t) является решением уравнения Гамильтона-Якоби

Мы можем объединить уравнения (1) и (2) в единую систему уравнений путём введения комплексной функции . Тогда эти два уравнения эквивалентны

with

Это зависящее от времени уравнение Шредингера с дополнительным потенциалом, квантовым потенциалом Q, который является потенциалом квантовой силы, которая пропорциональна (в приближении) кривизне амплитуды волновой функции.

Пустые волновые функции

Люсьен Харди^[4] и Дж. С. Белл^[2] подчеркивают, что в картине квантовой механики де Бройля-Бома могут существовать пустые волны, которые описываются волновыми функциями, распространяющимися в пространстве и времени, но не несущие энергию или импульс,^[5] и не привязанные к частице. Эта же концепция была названа волной-призраком (или «Gespensterfelder», полями-призраками) Альбертом Эйнштейном.^[6]

Понятие пустой волновой функции обсуждалось подробно в литературе.^[7][8][9] В многомировой интерпретации квантовой механики нет необходимости вводить понятие пустой волновой функции.^[2]

Примечания