Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

Формулировка

Если кривизна Риччи полного ${\displaystyle n}$-мерного риманова многообразия ${\displaystyle M}$ ограничена снизу положительной величиной ${\displaystyle (n-1)k}$ при некотором ${\displaystyle k}$, то его диаметр не превосходит ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$. Более того, если диаметр равен ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$, то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны ${\displaystyle k}$.

Следствия

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого Риманова многообразия ${\displaystyle M}$. В частности, универсальное накрытие ${\displaystyle M}$ конеченолистно и значит фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}M}$ конечна.

История

Аналогичный результат для секционной кривизны был доказан ранее Бонне (англ.).

Теорема доказана Майерсом (англ.).^[1] Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.^[2]

См. также

• Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)

Примечания