Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — [1]).

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Броуновское движение (на языке математики винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используется две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно, без труда можно переписать СДУ в форме Ито в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Существование и единственность решения

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в -мерном эвклидовом пространстве , где определен -мерный случайный процесс , описывающий броуновское движение;

Пусть , и пусть

— измеримые функции, для которых существуют константы и такие, что

для всех и всех и , где

Пусть  — случайная переменная, независимая от -алгебры, генерируемой процессом , , и имеющая конечный второй момент:

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

для

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и -непрерывное решение , такое что  — адаптированный процесс к фильтрации , генерируемое и , , и

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

где  — набор неизвестных, и  — произвольные функции, а  — случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если  — константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум — проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа. В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка. Уравнение Фоккера-Планка — дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло. Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Теория вероятностей и финансовая математика

Биология

Химия

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

• Adomian George Stochastic systems. — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
• Adomian George Nonlinear stochastic operator equations. — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian George Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
• Øksendal Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin: Springer, 2003. — ISBN ISBN 3-540-04758-1
• Teugels, J. and Sund B. (eds.) Encyclopedia of Actuarial Science. — Chichester: Wiley, 2004. — P. 523–527.
• C. W. Gardiner Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. — Springer, 2004. — P. 415.
• Thomas Mikosch Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. — Singapore: World Scientific Publishing, 1998. — P. 212. — ISBN ISBN 981-02-3543-7
• Bachelier, L., Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. — NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900. — ISBN In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner

См. также

• Уравнение Фоккера — Планка
• Уравнение Ланжевена