Степенна́я фу́нкция — функция , где (показатель степени) — некоторое вещественное число^[1]. К степенным часто относят и функцию вида , где k — некоторый масштабный множитель.^[2] Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция

Область определения

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при . Если , то функция определена также и при , иначе ноль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени

• Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При получается функция , называемая прямой пропорциональной зависимостью.
• Графики функций вида , где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.
• Если , то функция есть арифметический корень степени n.

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: (полукубическая парабола).

• Параболы порядка n:                                   
• Гиперболы порядка n:                 

Свойства

См. также: Возведение в степень

• Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция определена в нуле и его правой окрестности, но её производная в нуле не определена.
• В интервале функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при Значения функции в этом интервале положительны.
• Производная функции:
• Неопределённый интеграл:
  • Если , то
  • При получаем:

Комплексная функция

Степенная функция комплексного переменного z в общем виде определяется формулой^[3]:

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение равно где k — произвольное целое, а его главное значение есть

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

1. При натуральном показателе степени функция однозначна и n-листна^[4].
2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь , то у функции будет q различных значений^[3].

См. также

• Возведение в степень
• Логарифм
• Многочлен

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5. — С. 208-209.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Ссылки

• Степенная функция.

Примечания