Скалярная кривизна (скаляр Риччи) R — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором:
Таким образом, скалярная кривизна есть след тензора Риччи.
В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:
Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путем взятия производной Эйлера-Лагранжа от скалярной плотности кривизны [1].
Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с гауссовой кривизной многообразия. Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса-Бонне.
Скалярная кривизна.