Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка:

где функция ${\displaystyle f}$ определена на некоторой области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$. Решение ищется на интервале ${\displaystyle (x_{0},b]}$. На этом интервале введем узлы:

Приближенное решение в узлах ${\displaystyle x_{i}}$, которое обозначим через ${\displaystyle y_{i}}$, определяется по формуле:

Эти формулы непосредственно обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности метода на шаге и в целом

Погрешность на шаге или локальная погрешность — это разность между численным решением после одного шага вычисления ${\displaystyle y_{i}}$ и точным решением в точке ${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}+h}$. Численное решение задаётся формулой

${\displaystyle y_{i}=y_{i-1}+hf(x_{i-1},y_{i-1}).\quad }$

Точное решение можно разложить в ряд Тейлора:

${\displaystyle y(x_{i-1}+h)=y(x_{i-1})+hy'(x_{i-1})+O(h^{2}).}$

Локальную ошибку${\displaystyle L}$ получаем, вычитая из второго равенства первое:

${\displaystyle L=y(x_{i-1}+h)-y_{i}=O(h^{2}).}$

Это справедливо, если ${\displaystyle y}$ имеет непрерывную вторую производную^[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки, из которого вытекает предыдущее и которое обычно может быть легко проверено, является непрерывная дифференцируемость ${\displaystyle f(x,y)}$ по обоим аргументам^[3].

Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность — это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения. Для вычисления решения в этой точке требуется ${\displaystyle S/h}$ шагов, где ${\displaystyle S}$ длина отрезка. Поэтому глобальная погрешность метода ${\displaystyle G=O(h^{2}S/h)=O(h)}$.

Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка — имеет погрешность на шаге ${\displaystyle O(h^{2})}$ и погрешность в целом ${\displaystyle O(h)}$^[3].

Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модификации и общения

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

Коррекция:

Для повышения точности корректирующую итерацию можно повторить, подставляя ${\displaystyle {\tilde {y}}_{i}=y_{i}}$ .

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо как минимум дважды вычислять ${\displaystyle f(x,y)}$. Метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

Двухшаговый метод Адамса — Башфорта

Другой способ повысить точность метода заключается в использовании не одного, а нескольких вычисленных ранее значений функции:

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {3}{2}}hf(x_{i},y_{i})-{\tfrac {1}{2}}hf(x_{i-1},y_{i-1}).}$

Это линейный многошаговый метод.

См. также

• Метод Рунге — Кутты

Литература

• Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. [1]
• Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.

Примечания